Las investigaciones acerca de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas realizadas en las últimas cuatro décadas han puesto mayor atención a los niveles conceptuales de los objetos matemáticos. Progresivamente, requirieron más soporte teóricos‑metodológicos de diversos campos como la Psicología, la Semiótica, la Tecnología Educativa entre otras. Como es natural, sugieren nuevas líneas de investigación entre las que se destacan: historias de las ideas matemáticas; los obstáculos epistemológicos, temas de precálculo y cálculo, estudios sobre álgebra, geometría, ecuaciones diferenciales, resolución de problemas, estilos de enseñanza, enseñanza cooperativa, los sistemas de representaciones, la visualización, los micromundos computacionales y el uso de la tecnología en la enseñanza. A partir de estas ramificaciones se desarrollan proyectos en áreas particulares que validan, profundizan, contrastan los resultados obtenidos y/o plantean nuevas interrogantes.

    La presente tesis doctoral se enmarca en aquellos proyectos que tienen como línea de estudio el concepto de función, tema básico del curso de Precálculo. Integra cuatro aspectos medulares: proceso didáctico en la adquisición de las funciones, la visualización, los sistemas de representación, y la modelación desde el contexto físico y geométrico. Se aborda, en el contexto de enseñanza de Precálculo en Puerto Rico, específicamente, en cursos del currículo de la Universidad Interamericana. Por lo tanto, las conclusiones reflejan las características del proceso educativo que impacta a esta población estudiantil.

    Las perspectivas teóricas y prácticas de esta tesis provienen principalmente de las investigaciones de Duval R., Hitt F., Vinner S., Zimmerman W., Cunnigham S., Presmeg N. y Monk S. Se revisan y analizan propuestas didácticas presentadas en libros recientes, en especial: Precalculus, Functions and Graphs, Demana, Waits & Clemens (1993); Calculus in Context, The five College Calculus; Callahan & Hoffman (1995); Funciones en Contexto, Hitt (en prensa); Visualizando las funciones con la PC, Hitt y Torres (1994); Functions Modeling Change Precalculus: Connally, Hughes & Gleason (1997).

    Este trabajo se propone, en primer lugar, identificar y analizar las dificultades que surgen durante el proceso que conduce al aprendizaje de las funciones. En segundo lugar, analizar el papel de la visualización en la conceptualización de las funciones, diseñar módulos de actividades donde se incorpora la modelación matemática como articulación de los registros semióticos en la enseñanza y aprendizaje de las funciones.

    Los cuatro aspectos medulares, mencionados en la página anterior, discurren a través de diferentes capítulos de la tesis.

    El primer aspecto se refiere al proceso didáctico en la adquisición de las funciones. Se plantea que en la enseñanza de las matemáticas se utilizan métodos y concepciones que distan de una construcción activa del conocimiento. La práctica docente en algunos sistemas educativos se circunscribe a esquemas convencionales de trasmisión del conocimiento. Si bien, en algunos casos, se incorporan novedosas técnicas y actividades por iniciativa del profesor, éstas no responden a una organización programática. Ejemplo de un proceso rutinario, brevemente descrito, es el siguiente: el profesor restringe la explicación a una de las definiciones de función; a continuación expone los subconceptos de dominio y rango; luego, identifica visualmente las funciones (tablas, diagramas de Venn, gráficas en el plano coordenado, etc.); y, posteriormente, distingue representaciones que no son funciones; respecto a las representaciones gráficas, utiliza la prueba geométrica o recta vertical para comprobar si alguna de éstas es función. Este proceso puede limitar el aprendizaje de las funciones de parte del alumno porque enfatiza en el procedimiento y pierde de perspectiva lo conceptual.

    El segundo aspecto que se considera es el papel de la visualización en el estudio de las funciones. En la educación formal e informal se han desarrollado e integrado los elementos visuales como parte esencial de la comunicación. Gráficas, signos y objetos pictóricos, imágenes impresas o computadorizadas están presentes en todas las áreas de la sociedad actual y los receptores modernos han desarrollado estructuras mentales que les permiten traducir y descodificar los mensajes. En el medio educativo los estudiantes y profesores promueven este tipo de convenio mediatizado para enriquecer la aprehensión de los conocimientos a través de la relación visual. En el caso de la enseñanza de las matemáticas lo visual juega un papel importante. Son diversas las áreas que precisan de representaciones visuales, tanto para representar algún concepto, como de instrumentos útiles para el análisis. A pesar de este desarrollo, el uso de la visualización en las clases de matemáticas no ha sido incorporado de manera sistemática ni generalizada; tampoco es constante la evaluación de sus ventajas y desventajas. En esta tesis se incluyen argumentos de diferentes autores que refuerzan cuan útil puede ser la visualización en ese proceso cognitivo del estudiante.

    El tercer aspecto que se toma en cuenta son los sistemas de representación. Los conceptos matemáticos, a diferencia de los conceptos inherentes de muchas disciplinas, no se pueden abordar directamente, por lo que se requieren formas que lo representen. Duval (1998) afirmó que los objetos matemáticos no son directamente accesibles a la percepción humana o de una experiencia intuitiva inmediata (p. 174) Él agregó que, por un lado, la aprehensión de los objetos matemáticos no puede ser otra cosa que una aprehensión conceptual y, por otro lado, solamente por medio de las representaciones semióticas es posible una actividad sobre los objetos matemáticos. Consideró que esto podría interpretarse como una paradoja cognitiva (p.175). Para superar esta complejidad determinados autores de libros de precálculo y cálculo incorporaran en la estructura de sus textos, de manera explícita, acercamientos a través diversos sistemas de representaciones. Pero, como se explica en el contenido de esta tesis, al momento de aplicar, en el aula, la coordinación de estos sistemas se limitan a hacer solo algunos tipos de conversión. Por ejemplo, en las clases de precálculo, cuando se trabaja el tema de las funciones, se insiste en la conversión del sistema de representación algebraica al sistema gráfico, pero la conversión contraria es menos frecuente.

    El cuarto aspecto considera a la modelación desde el contexto físico y geométrico. Actualmente, las computadoras y las calculadoras gráficas permiten enfatizar más en lo visual, recoger datos de experimentos físicos y simular y modelar situaciones del contexto real que conducen a la construcción de funciones en formas simbólicas y gráficas. En efecto, es posible la modelación dinámica del concepto de función con el apoyo de estos recursos. No obstante, la incorporación de la calculadora gráfica y la computadora no siempre entra en el proceso del aprendizaje. En algunos momentos, la tecnología en la enseñanza se ha visto reducida al efectivismo e impacto visual, lo cual la reduce a un uso mecánico y superficial. En este trabajo doctoral se proponen actividades de modelación conducentes a la articulación de representaciones, puesto que se considera a la modelación como una alternativa didáctica en el estudio de las funciones.

 La estructura de la tesis está conformada por siete capítulos.

    En el primer capítulo se plantea el problema de investigación y su justificación. Se formulan preguntas que pretenden observar: las dificultades que se les presentan a los estudiantes en cuanto a las representaciones semióticas del concepto de función; los obstáculos en tareas de conversión, las ventajas que les proporciona la visualización durante el proceso de la conceptualización de las funciones. También, se exponen los objetivos que ayudan a delinear y limitar los aspectos de investigación y se incluye un marco conceptual que permite situar el concepto de función en la perspectiva del aprendizaje.

    El segundo capítulo contiene una revisión teórica de diferentes investigadores que, en las últimas décadas, han contribuido a esclarecer el panorama acerca del proceso cognitivo de las funciones. Con el propósito de conocer la problemática que se genera en la adquisición del concepto de función, se considera conveniente examinar los estudios de Duval R., Hitt F. y otros acerca de los sistemas de representaciones semióticas. Vincular estas, a la construcción del concepto de función que tome en cuenta investigaciones sobre visualización y la modelación llevadas a cabo por Vinner, Zimmerman, Cunnigham, Presmeg, Monk, Ben‑Chaim, Lappan & Houang, Einsenber & Dreyfus entre otros.

    En el tercer capítulo, se describe la metodología de este estudio que correspondió a una de tipo cualitativa. El proceso de investigación se desarrolló en dos fases. En la primera, se llevó a cabo el estudio piloto, en el que se aplicó un cuestionario para explorar los niveles de conocimientos sobre las representaciones de funciones, se realizaron estudios de casos utilizando entrevistas grabadas en vídeos y se desarrollaron cinco actividades en el salón de clase apoyadas por computadoras y calculadoras. En la segunda fase, la investigación final, se amplió y profundizó el estudio piloto, tanto en lo experimental como en lo teórico. La aplicación de los instrumentos y las técnicas de recolección de información, especialmente las entrevistas, permitieron observar las estrategias y dificultades particulares de los procedimientos que desarrollaron los estudiantes.

    En el cuarto capítulo se analizan los resultados de los cuestionarios. Con las respuestas dadas por los estudiantes se pudieron concluir que en la definición domina el carácter de la unicidad, en lo gráfico domina la continuidad, y como prueba para decidir si es función o no domina la prueba geométrica o recta vertical. En el cuestionario se incluyeron problemas descritos verbalmente para ser representados en gráficas, y problemas que describían una acción dada en un contexto físico y se pedía que esta acción fuese expresada gráficamente. Se comprobaron algunos puntos de vista de algunos investigadores. Por ejemplo, en determinadas preguntas se propuso a los estudiantes que trasladaran una situación dada de un modelo físico a un modelo gráfico. Se observó que para algunos estudiantes domina la forma de recipiente cuando se trata el caso de la conversión desde un contexto físico a un sistema gráfica.

    El quinto capítulo contiene tres entrevistas grabadas en vídeo y la información concerniente a la problemática en estudio. Se transcriben y analizan episodios de las entrevistas, que permite explorar, tanto las estrategias, como las dificultades y los mecanismos de aprendizaje a los que se recurren como, por ejemplo: los estudiantes rehúsan a considerar las funciones discretas como funciones, hacen uso de distintas representaciones para responder las preguntas, de la prueba geométrica desligada del concepto, entre otras.