Propiedades de la igualdad

Por: Dra. Luz M. Rivera Vega

Universidad Interamericana de Puerto Rico - Ponce

 

Objetivo: Resolver ecuaciones lineales en una variable

Propiedad de la igualdad de la suma:

 Sean a, b y c números reales cualesquiera, si a = b   entonces   a + c = b + c.

Orejita: 

La Propiedad de la igualdad de la suma significa que como el signo de igualdad es similar a una balanza, lo que se sume  a un lado del signo debe ser sumado al otro lado de la igualdad para mantener el balance o la igualdad.

Por ejemplo:

 4 = 3 + 1   entonces            4 + 5 = 3 + 1 + 5

Podemos observar que:             9 = 9

Esta propiedad la podemos usar al resolver ecuaciones:

Veamos: Fíjate que los signos de igualdad (=) deben estar uno debajo del otro

Ejemplo 1
      x  -  4  = 7                    que es lo mismo que
       x + -4  = 7                    ahora para dejar la x sola vamos a
x + -4 + 4 = 7 + 4              sumar 4 en ambos lados usando la Propiedad
x +   0       = 11                  de la suma para la igualdad

                x= 11

Comprobación

  x - 4 = 7        Sustituimos la x por 11 y comprobamos
11 - 4 = 7        si tenemos una igualdad. Observamos que resulta
                        en una igualdad.
 

Ejemplo 2

            x - 1  =   6                (Recuerda que restar un número es igual
                 8       8                 sumar su opuesto.)

          x+  -1  =                   Ahora para dejar la x sola, le sumamos a
                 8       8                 un número que dé como resultado cero.

x +   -1   +  16   + 1         Ese número es el opuesto de -1/8 o sea 1/8.
          8       8     8      8          Pero si sumamos 1/8 es un lado de la
                                              ecuación  tenemos que sumarlo al otro lado

              x + 0 =  7                 por la Propiedad de la suma para la igualdad.
                           8

                  x   =  7
                            8

 
 
 Comprobación
                x - = 6                  Sustituimos la x por 7/ 8 y comprobamos
                      8       8                       si tenemos una igualdad.

           7  -   1  =  6
             8        8      8
 

                       66                   Observamos que resulta en una igualdad.
                       8     8

 

 

Los procedimientos de los dos ejemplos anteriores de pueden acortar si observamos que al resolver una ecuación lo que buscamos es aislar la variable ( dejarla sola) y cuando aplicamos la Propiedad de la Igualdad de la suma el número que está suma a la variable, aparece al otro lado de la ecuación con el signo opuesto. Veamos estos ejemplos de nuevo.

 

Ejemplo 1
      x  -  4  = 7                   
       x + -4  = 7                   
                x   = 7  + 4
             x   = 11

 Ejemplo 2
          x - =   6                  
                8       8 
          x +  -1  =                   
               8       8   
                  x    =     +  1              
                        8        8
                    x                   
                        8  

  
 Veamos algunos ejemplos más:

Ejemplo 3 Resuelve  x + 5 = -9

        Solución:

                    x + 5 = -9

                          x  = -9 + 5

                          x  = -4

 

  

Ejercicios de Práctica:
 

1.  x + 9 = 12                                                                            6.  x - 9 = 5

2.  x + 4 = 1                                                                               7.   x - 10 = 3

3.  x + 5 = 9                                                                               8.   x - 3 = 8

4.  x + 1  = 5                                                                              9.  x  - 2   = 9
           7     7                                                                                        11    11

5. x + 2 = 5
          9    9
 
 
 
 
 
 
 

Soluciones:
 
 
 
1.          x + 9 = 12
     x + 9 + - 9 = 12 + - 9 
             x + 0  = 3
                     x = 3
 

2.           x + 4 = 1 
     x + 4 + - 4 = 1 + - 4
              x + 0 =  1 + -4
                    x = -3
 

3.          x + 5 = 9
    x + 5 + - 5 = 9 + - 5
            x + 0  = 4
                   x = 4

4.         x + 1  = 5
                   7     7

     x + 1 + - 1 = + - 1
           7       7    7       7

              x + 0 = 4
                          7
                    x = 4
                           7

5.            x + 2 = 5
                      9    9

          x + 2  - 2 = 5 - 2
                 9    9    9   9
                x + 0  = 3
                             9

                       x = 3 ÷ 3  = 1
                             9    3     3

6.           x - 9 = 5
            x + -9 = 5
      x + -9 + 9 = 5 + 9
              x + 0 = 14
                    x = 14
 
 

7.             x - 10 = 3
              x + -10 = 3
      x + -10 + 10 = 3 + 10
                  x + 0 = 13
                        x = 13
 

8.               x - 3 = 8 
                x + -3 = 8
           x +-3 + 3 = 8 + 3
                  x + 0 = 11
                        x = 11
 

9.                x - 2 = 9
                       11  11

                 x + -2 = 9
                       11   11

           x + -2 + 2 = 9 + 2
                 11   11  11  11

                   x + 0 = 11
                                11
                   x + 0 = 1
                         x = 1
 
 

 

Propiedad de la igualdad de la multiplicación

Sean a. b, y c  números reales cualesquiera,  si a = b entonces,   a · c = b · c  

Orejita: 

La Propiedad de la igualdad de la multiplicación significa que como el signo de igualdad es similar una balanza, lo que se multiplique  a un lado del signo debe ser multiplicado al otro lado de la igualdad para mantener el balance o la igualdad.

Por ejemplo:   4 = 3+1 entonces    5(4) = 5(3 + 1) 

Podemos observar que:                  20  = 20

Ejemplo 1:  

Observa  que el objetivo de resolver una ecuación es aislar la variable.

Resuelve:  4x = 28 

 

Aprovechando la propiedad de la igualdad de la multiplicación, podemos multiplicar 4 por un número que de uno. En el caso del 4 , 1/4  es el recíproco, de modo que se multiplican ambos lados de la ecuación por 1/4.

Solución:   

         4x   = 28    

       4x = 28 · 1                 

            4      1     4                 r

                                                   

        4x = 28                        l

         4      4

 

          x =  7                        

 

Comprobación:

 

         4x = 28

       4(7) = 28

Ejemplo 2 Resuelve
     4 x    =  12   

     7

Solución

 

7 ·  4  x  =   12 · 7    

4    7             1    4

 

     28 x  =   84

      28           4

 

           x  =  21

 

Debemos buscar un número que al       multiplicarlo por 4/7 el resultado sea 1.

El número que buscamos es el recíproco de 4/7, o sea 7

 

                             

 

Ejemplo 3:

 
      x  = 27  

      9

    1 x  = 27 

    9

9 · x = 27

      9

      9x = 27

      9       9

        x =  3

x es los mismo que    x

                                     9

El recíproco de es 9

                           9

 

         

 

Ejercicios de Práctica:
 

1. -3x = 8

 

2. 6x = -15

 

3.   x = 56

       

 

4. 2x = -16

    5

 

 

Soluciones

 

1.     -3x =  8

   -1 · -3 = 8  · -1 

    3     1     1    3

           3x=  -8

           3       3

             x = -8

                    3

3.       x = 56

          9

        1 x  = 56

        9

   · 1 x = 56 · 9

   1     9      

           9  x

           9 

2.          6x = -15

          1 · 6x = -15 · 1

          6    1        1     6

              6 x = -15

              6          6

                 x  = -15

                           6

 

                 x = -1· 3 · 5

                           2 · 3

                 x = -5

                        2

 

 

 

 

4.    2x = -16

       5

 5  · 2x = -16 ·  5

 2    5         1    2

     10x = -1· 2·2·2·2·5

      10             2

          x  = -40

 

 

 

 

   

 

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