Módulo de Polinomios
Escrito por: Dra. Luz M. Rivera


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Lección 1

    Expresiones algebraicas son formadas mediante el uso de constantes, variables y las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, uso de exponentes y buscando raices.

Algunos ejemplos  son:

                              3x2 + 5x - 3                        (3x - y) 3
 
 

                              2 + x                                    a + b - 5
                              4 + y
 
 

                              _ 1_
                              x - 9
 
 

    Una expresión algebraica que involucra solamente operaciones de suma, resta, multiplicación y el elevar a potencias de números naturales son variables ( las letras) y constantes( números solitos) se llama polinomios. Algunos ejemplos son:

        5a + b                                        3x3 - 2x + 5

       2x - 5y                                        9x2 - 8

        x2                                              5x4 - 3x3 + x2 - x + 5
 

En un polinomio, la variable no puede aparecer en el denominador, como exponente ni dentro de un radical.


Objetivo A: Sumar polinomios

Un término es una expresión  que está separada por los signos de suma o resta.
Ejemplos de términos:   3x , -2x2, 4

Ejemplo:

3x2 - 4x

3x2 es un término.  -4x es otro término.
 

Un constante es un término que no contiene variables, solamente posee coeficiente.

3x2 + 9x + En este caso, la constante es 8, ya que es el único término sin variables.

Un monomio es un número, una variable o un producto de números y variables.
 Algunos ejemplos de monomios son:

 3x 2,  2x,   -5,   37 p4,   0

 1
 x      No es un monomio  porque la variable  aparece en el denominador.
 

___Un polinomio es una expresión cuyos términos son monomios.

                        x2 + 2x - 8
 

___Un monomio es un polinomio con un término.

                       5x3  Es un monomio

___Un binomio es un polinomio con dos términos.

                     5y2 - 3x  es un binomio.

___Un trinomio es un  polinomio con tres términos.

                     6xy -  2r2s + 4r   Es un trinomio.

Polinomios con más de tres términos no reciben nombres especiales..

___Los términos  de un polinomio en una variable se arreglan usualmente de modo que los exponentes de la variable van en orden de mayor a menor  y  de izquierda a derecha. Esto  se llama orden descendente.

 4x3 -  3x2 + 6x - 1
 5y4  - 2y3 + y2 - 7y + 8
 
 
___El grado de un polinomio  es una variable es el exponente mayor.

___El Polinomio de 4x3 -3x2 + 6x - 1 es de  grado 3

___ 5y4 - 2y3  + y2- 7y + 8 es un polinomio de  grado 4.
 

Polinomios pueden ser sumados, usando un formato vertical, mediante la combinación de términos semejantes.

Por ejemplo simplifica (2x2 + x - 1) + ( 3x3 + 4x2 - 5 ) usando el  formato vertical.

Primero los términos son arreglados.
En orden descendente son términos  semejantes en la misma.
 

              2x2 + x  - 1
 +  3x3 + 4x2        - 5
     3x3 + 6x2 + x -6

Simplifica (3x3 - 7x + 2) + ( 7x2  + 2x -7) usando el formato horizontal.

Pasos:

1) Usando las propiedades conmutativas       (3x3 - 7x + 2) + (7x2 + 2x -7)
 y asociativas de la adición de reemplazar
los términos semejantes.                               3x3 + 7x2 + (-7x + 2x) + (2 + -7)
                                                                   (Este paso se hace mentalmente.)
2) Combinar términos semejantes.
3)  Escribir el polinomio en orden descendente.   3x3 + 7x2 - 5x -5
 
Ejemplo 1:

Escribe el siguiente polinomio en orden descendente.
3x2 - 5 + 4x3 - 2x

Solución:
4x3 + 3x2 -2x -5
 
Ejemplo 2:

Escribe el polinomio en orden descendente.

x + 6x2 -1 + 5x3

Tu solución:

5x3 + 6x2 + x - 1
 
Ejemplo 3:

Identifica el grado del polinomio

8x3 - 2x2 -7

Solución:
El exponente mayor de la variable x es 3.
El grado de  8x3 - 2x2 - 7 es grado 3.
 
Ejemplo 4:

Identifica el grado del polinomio

9x4 - 3x2+ 11

Tu solución:

Si el exponente mayor es 4, entonces el grado del polinomio es 4.
 
Ejemplo 5:

Simplifica  (7y2 - 6y + 9) + ( -8y2 -2).  Usar el formato vertical.

Solución:

                        7 y2 + - 6y + 9
                   +  -8 y2            + -2
                       -y2   +   -6y + 7

                        -y2  -    6y + 7
 
 
Nota: Fíjate que hemos  reescrito  7y2 - 6y + 9 como  7y2 + -6y + 9 ( usando las reglas  de la resta - restar  un número es igual que sumar el opuesto del número)

Ejemplo 6:

Simplifica ( 2x2  + 4x -3 ) + ( 5x2 - 6x ).  Usar el formato vertical.

Tu solución:

                              2x2 +  4x  - 3
                         +  5x2 + -6x
                            7x2 + -2x +-3
 
  Ejemplo 7:
 

Simplifica ( -4x2   -  3xy    + 2y 2  )  + ( 3x2  - 4 y2 ).  Usar el formato  horizontal. En este tipo de suma se agrupan horizontalmente los términos semejantes. Términos semejantes son aquellos que tienen la misma variable o variables con el mismo exponente.

Solución:
 

( - 4x2 - 3xy + 2y2 ) + ( 3x2 - 4y2 )=

   -4x2 + 3x2 + -3xy + 2y2 + -4y2            [Cómputo mental]

   -x2 - 3xy - 2y2
 
 

Ejemplo 8:

Simplifica  (-3x3 + 2y2) + (-8x2 + 9xy). Usar el formato horizontal.

Tu solución:

(-3x3 + 2y2) + (-8x2 + 9xy)

-3x3 +( 2y2 +- 8x2 )+ 9xy

-3x3 -6x2  + 9xy

La respuesta debe estar siempre en orden descendente.
 
 
 

Objetivo B:  Restar polinomios
 

Nuestro objetivo es simplificar   - ( x2 - 2x + 3)
 

Para simplificar el opuesto de un polinomio, cambias el signo de cada término que está dentro del paréntesis.
 

                        -(x2 - 2x +3) =  - x2 + 2x - 3
 

Polinomios pueden ser restados usando el formato vertical  o el formato horizontal.  Recuerda que para restar  es lo mismo sumar el opuesto del polinomio.
Simplifica  ( -3x2 - 7) - (-8x2 + 3x + -4). Usa el formato vertical.

1. Arreglar los términos de cada polinomio en orden descendente con los términos semejantes en la misma columna.
2. Reescribes la resta como la suma del opuesto.
3. Combinar los términos en cada columna.
 
 

                -3x2         +  7 
             - (-8x2 + 3x + -4)
           -3x2        +   7 
       +   8x2 + 3x + -4) 
       =   5x2  - 3x    - 3
(Restar un número es igual que sumar
el opuesto del número.)

(-3x2 - 7) - ( -8x2 + 3x + -4)
(-3x2 + -7) + - (8x2 + 3x + -4)
(-3x2 + -7) + ( -8x2 + -3x + 4)

Simplifica (5x2 - 3x + 4) - ( -3x3 - 2x + 8). Usar el formato horizontal.

1. Reescribes la resta como la suma del opuesto.         (5x2 - 3x + 4) - (-3x3 - 2x + 8)

2. Combinas los términos semejantes.                            (5x2 + -3x + 4) + - (-3x3 + -2x + 8)

3. Escribes el polinomio en orden descendente.            (5x2 + -3x + 4) + (3x3 + 2x + -8)

                                                                                                3x3 + 5x2 + -3x + 2x + 4 + -8 
                                                                                                3x3 + 5x2  - x  -  4 
  

Ejemplo:

Simplifica (6y2 - 3y - 1) - (7y2 - y) = Usar formato vertical.
 

Solución:        

	                   6y2 - 3y - 1      =           6y2 + -3y + -1 
                              -(7y2 - y)    _               + -7y2 + y_____ 
                                                                      -y2 - 2y - 1 
  

Ejemplo:

Simplifica  (6y2 - 3y - 1) - (7y2 - y) = Usar formato vertical.

Solución:   

                    ( 6y2 + - 3y + -1)+ - (7y2 + - y) = 6y2 + -3y+-1 + -7y2 + y 
                      6y2 + -7y2 + -3y + y + -1 
                       -y2 +          -2y +       -1 
                       -y2- 2y - 1 
  

Ejemplo:

Simplifica  (4x3 - 3x - 7) - (7x2 - 4x - 2) . Usar el formato horizontal.
 

Solución:

            (4x3 - 3x - 7) - (7x2 - 4x - 2)
            (4x3 + -3x + -7) +-(7x2 + -4x + -2)
            (4x3 + -3x + -7) + (-7x2+ 4x + 2)
            4x3 + -7x2 + -3x + 4x + -7 +2
            4x3 + -7x2 + x + -5
            4x3 + -7x2 + -3x + 4x + -7 + 2
            4x3 + -7x2 + -3x + 4x + -7 + 2
            4x3 + -7x2 + x + -5
            4x3 - 7x2 + x - 5
 
 
  Ejemplo:

    Simplifica ( -3a2 - 4a + 2) - (5a3 + 2a - 6). Usar el formato horizontal.

Tu solución:

        (-3a2 - 4a + 2) - (5a3 + 2a - 6)
        (-3a2 - 4a + 2) + -(5a3 + 2a - 6)
        (-3a2 - 4a + 2) + ( -5a3 - 2a + 6)
        -5a3 + -3a2 + -4a + -2a + 2 + 6
        -5a3 - 3a2 - 6a + 8
 
 
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Ultima Edición: Octubre 12, 2001