ECUACIONES Y SOLUCION DE PROBLEMAS VERBALES

Por: Dra. Luz M. Rivera








Parte 1:   Ejemplos de ecuaciones resueltas
Parte 2:  Traduciendo a expresiones algebraicas
Parte 3:  Primeros auxilios para la resolución de problemas verbales
Parte 4:  Ejemplos de problemas resueltos
 
 
 
 

En esta sección les presento algunos ejemplos clásicos de problemas verbales, cuyas estrategias  al resolver les pueden ser muy al resolver otros problemas.

A. Refiérase a la Parte 3 (Primeros auxilio..). El número 6 del papel muestra como se pueden expresar números enteros consecutivos mediante expresiones algebraicas. Por ejemplo;
 

  8, 9 , 10   son enteros consecutivos.

  Si x es el primer número, ¿cómo puedo expresar 9 y 10 en los mismos términos?

            8        9        10
...........................

            x     x+1     x + 2
 

¿Funcionará siempre? Veamos: digamos  13, 14,    15
        13      14     15
........................
          x     x +1    x+2
 

Hagamos el siguiente problema:

La suma de tres números enteros consecutivos es 48. ¿Hallar los tres números?

Solución:

 Primer número  Segundo  Tercero
            X                   x + 1        x + 2

Como la suma de los tres enteros consecutivos es 48 ( es significa aquí =), podemos escribir una ecuación:

  x + x + 1 + x + 2 = 48

Resolviendo obtenemos:
  3x + 3   =  48
         3x  =  48  + -3
         3x  =  45
         3x  =  45
         3         3

          x   =  15

De modo que el primer número es,  x = 15;  el segundo número es x + 1 = 16
Y el tercer número,  x + 2 = 17.

¿Qué pasaría si la situación involucrara números enteros consecutivos pares o impares?
Veamos.  Por ejemplo:  6,  7 , 8,  digamos que el primero = x, ¿cómo expresaríamos  el 7 y el 8?
 
 

               6         7          8
.................................
               x      x +2    x +4
 

¿Cómo sería para números impares?

Por ejemplo:  35,    37,    39, si el primero es x ,
....................................
                       x    x +2     x+4

Fíjate que con los enteros impares consecutivos es igual que con los números enteros  pares consecutivos.

Hagamos unos problemas:

1. La suma de tres números impares consecutivos es 51. Hallar los tres números.
 

Solución: Como son impares consecutivos,

 Primero   Segundo   Tercero
     x             x + 2          x + 4

Como la suma de los tres números es 51, escribimos la siguiente ecuación y la resolvemos:

       x   + x + 2 + x + 4  = 51
      3x  + 6 = 51
            3x  = 51 +  -6
            3x  =  45
            3         3

             x   =  15

   Primero x = 15,  Segundo x+ 2  = 17,  Tercero  x + 4 = 19.

Comprobación:
15+ 17 + 19= 51 (Los tres números son impares consecutivos y suman a 51.

2. Hallar tres números enteros consecutivos cuya suma es negativo 21.

Solución:
Primero   Segundo   Tercero
     x              x + 1       x + 2

Como la suma de los tres es   -21, la ecuación es
         x + x+1+ x + 2 = -21

            3x + 3  =  -21
                  3x  =   -21 + -3
                  3x  = -24
                  3         3

                     x = -8
 
 

El primero, x= -8, el segundo,  x + 1 = -8 + 1 = -7   , el tercero x+ 2 = -8 + 2 = -6.
Comprobación:
-8 + -7 + -6 = -21
 

3. Hallar tres enteros pares consecutivos tal que tres veces el segundo es cuatro más que la suma del primero y tercero.
Solución:

 Primero Segundo Tercero
     x           x + 2        x + 4

Para hacer la ecuación tenemos que leer con atención el problema.
“tres veces el segundo    es    cuatro más que la suma del primero y tercero”
   3(x+2)                           =                4+ ( x + x+4)

Resolvamos:
 3(x+2) =  4+ ( x + x+4)
 3x + 6  = 4 + 2x + 4
 3x + 6 =  8 + 2x
  3x + -2x =  8 + -6
        x  =  2
De modo que el primero es x = 2,  el segundo es x + 2 = 4 y el tercero es x+4 =6.

Comprobación:
3(x+2) = 4 + (x +x +4)
3(2+2) = 4 + (2 +2 + 4)
 3(4)   =  4 + 8
12 =  12

Resolución de Problemas Verbales
 

B. Pagina de problemas #4

Veamos en la página de “Primeros auxilios para resolver problemas verbales” el  número

Un coleccionista de  sellos tiene un sellos de 3 centavos que es 25 años más viejo que un sello de 5 centavos. Dentro de 18 años, el sello de 3 centavos será el doble de viejo que el sello de 5 centavos entonces. ¿Cuántos  años tiene cada sello?
Solución:
Hay en el problema dos clases de sellos: de 3 centavos y de 5 centavos.
  Edad presente           Edad futura
3 centavos      x  + 25  (x + 25) + 18 x +43
5 centavos  x                     x + 18

Ahora volvamos a leer el problema para establecer la igualdad.
Dentro de 18 años, el sello de 3 centavos será el doble de viejo que el sello de 5 centavos
    x + 43     =    2( x + 18)

Resolvamos
    x + 43     =    2x + 36
     x + -2x   =   -43 + 36
         -  x     = -7
             x    = 7
Así que el sello de 5 centavos tiene 7 años y el de 3 tiene x + 25 à 7 + 25 = 32 años.

Comprobación:
 x + 43     =    2( x + 18)
 7 + 43    =    2 ( 7 + 18)
          50 =  2(25)
          50 =     50
 

Problema #2
Un medio peso tiene ahora 25 años. Un vellón de diez tiene 15 años. Ahora volvamos a leer el problema para establecer la igualdad. ¿Hace cuántos años tenía el medio peso el doble de los años que el vellón?
 

Solución:  x es el número de años en el pasado
  Edad Presente           Edad en el pasado
Vellón de 10         25                         25 – x
Medio peso         15      15 – x

Ahora volvamos a leer el problema para establecer la igualdad.
¿Hace cuántos años tenía el medio peso el doble de los años que el vellón?

2(15 – x)  = 25 - x

Resolvamos;    2(15 + -x) = 25 + -x
                           30 + -2x  = 25 + -x
                           30 + -25  =  2x + -x
                                       5  =  x
 

De modo que hace 5 años el medio peso tenía el doble de años que el vellón.

Comprobación:
2(15 + -x) = 25 + -x
2(15 +-5) = 25  + -5
       2(10) = 20
            20 = 20
 

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Text by: Dra. Luz  M. Rivera

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   Ultima Edición: Diciembre 13, 2000